Правило лопиталя раскрытие неопределенностей

Правило лопиталя раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенностей с помощью правила лопиталя


Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на

и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.

=

=

Итого

==

Пример. Пример.Второй способ решения того же самого примера.С учетом того, что функции arcsinиarccosсвязаны соотношением

, а постоянная интегрирования С – произвольное число, ответы, полученные различными методами, совпадают. Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно применять различные рассмотренные выше приемы.

Выбор метода интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований.Пример.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Пример. При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования.

В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.Пример.

, с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку,Т.е.

два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная tgxимеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке х =/2). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима.

При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий.НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Пример.

— не существует.Несобственный интеграл расходится.

Пример.

— интеграл сходится ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯПример.Найти общее решение дифференциального уравнения:

Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям (см.

Интегрирование по частям.): это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. В этом и заключается отличиеобщего (частного)интегралаот общего (частного)решения.Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.

— верно Пример.Найти решение дифференциального

Ваше право

Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

.

искомая функция и не выражена через независимую переменную.

.

.

.

.

. Это случаи, когда вычисление предела разности функций приводит к неопределённости «бесконечность минус бесконечность»:

.

Вычисление такого предела по правилу Лопиталя в общем виде выглядит следующим образом: В результате таких преобразований часто получаются сложные выражения, поэтому целесообразно использовать такие преобразования разности функций, как приведение к общему знаменателю, умножение и деление на одно и то же число, использование тригонометрических тождеств и т.д.

Пример 17. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя

. Решение. Пользуясь вышеперечисленными рекомендациями, получаем Суть правил Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.

Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно малых величин. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a, причём в этой окрестности g‘(x)≠0 и если и если пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны нулю (

), Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно больших величин. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a, причём в этой окрестности g‘(x)≠0 и если и если пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны бесконечности то предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных 2.

Если при вычисления предела отношения производных функций f(x) и g(x) снова приходим к неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, то правила Лопиталя следует применять многократно (минимум дважды). В числителе вычисляли производную многочлена, а в знаменателе — производную сложной логарифмической функции.

Перед последним знаком равенства вычисляли обычный предел, подставляя вместо икса двойку. Пример 2. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя: Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0.

Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем: Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида ∞/∞.

.

Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей вида .

С помощью правила Лопиталя.

(Если g(b) = g(a), то, по теореме Ролля, существует число

такое, что g ‘ (c) = 0.) Введем обозначение:

.

Рассмотрим функцию

, которая непрерывна на

, дифференцируема на (a, b) и F(a) = F(b) = 0, т.е. функция F удовлетворяет условиям теоремы Ролля.

Следовательно, существует число

такое, что F ‘ (c) = 0.

Так как

. Теорема доказана. Теорема Лагранжа (о конечных приращениях) Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке

и дифференцируема на интервале (a, b). Тогда существует число

, такое, что

.

Доказательство. Необходимо положить g(x) = x и применить теорему Коши. Теорема доказана. Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть

или

.

Тогда, если существует предел отношения производных этих функций

, то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

Замечание. Отметим, что формула справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует.

Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА Пусть функция y= f(x) задана на (a, b) и x0 Î (a, b). Поставим следующую задачу: найти многочлен P(x), значения которого в окрестности точки x0 приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках.

Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значений f(x) в окрестности точки x0 можно заменить более легкой задачей вычисления значений P(x). Пусть искомый многочлен имеет степень n P(x) = Pn(x). Будем искать его в виде

(1) В этом равенстве нам нужно найти коэффициенты

.

§ 2. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

Для этого найдем производные до (n+1) порядка: Таким образом, получаем Используя эту формулу и придавая x различные значения, мы сможем вычислить значение ex. Например, при x=1, ограничиваясь n=8, получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа e:

причем остаток

Отметим, что для любого x Î R остаточный член

Действительно, так как ξ Î (0; x), то величина eξ ограничена при фиксированном x.

При x> 0 eξ < ex. докажем, что при>

Имеем

Если x зафиксировано, то существует натуральное число N такое, что |x|<> Обозначим

Заметив, что 0<><1, приn>N можем написать Но

, не зависящая отn, а

так как q<1.>

Следовательно,

Таким образом, при любом x, взяв достаточное число слагаемых, мы можем вычислить ex с любой степенью точности.

Выпишем разложение по формуле МакЛорена для функции f(x)=sin x.

Найдем последовательные производные от функции f(x)=sin x.

Подставляя полученные значения в формулу МакЛорена, получим разложение: Несложно заметить, что преобразовав n-й член ряда, получим

.

Так как

, то аналогично разложениюex можно показать, что

для всехx.

Пример. Применим полученную формулу для приближенного вычисления sin 20°. При n=3 будем иметь: Оценим сделанную погрешность, которая равна остаточному члену: Таким образом, sin 20°= 0,342 с точностью до 0,001.

f(x) = cos x. Аналогично предыдущему разложению можно вывести следующую формулу: Здесь также

для всехx. Докажите формулу самостоятельно. f(x)=ln (1+x). Заметим, что область определения этой функции D(y)=(–1; +∞).

Найдем формулу МакЛорена для данной функции. Подставим все найденные производные в ряд МакЛорена. Можно доказать, что если x Î (–1;1],то

, т.е.

выведенная формула справедлива приx Î ( –1;1]. f(x) = (1+x)m, где m Î R,

20. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей:

Частные производные второго порядка обозначаются ∂/∂x*(∂z/∂x)= ∂2z/∂x2=f’’xx(M); ∂/∂y*(∂z/∂x)= ∂2z/∂x∂y=f»yx(M); ∂/∂x*(∂z/∂y)= ∂2z/∂x∂y=f»xy(M); ∂/∂y*(∂z/∂y)= ∂2z/∂y2=f»yy(M).

Если частные производные первого порядка непрерывны, то значение «смешанной» производной не зависит от порядка дифференцирования, т.е.

∂2z/∂x∂y=∂2z/∂y∂x. Это положение распространяется и на частные производные более высокого порядка.

38. 39. Если частные производные

непрерывны в т. М(х,у), то функция z =

(х, у) дифференцируема в этой точке Аналогично для функции

вводится понятие дифференцируемости и полного дифференциала

Необходимое условие)Для того, чтобы являлось в некоторой области G полным дифференциалом некоторой функции u=F(x,y), необходимо, чтобы в этой области (х,у Î G) Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть (14.11) — полный дифференциал функции u = F(x,y).

Имеем . Отсюда в силу единственности дифференциала получим , .

Дифференцируя первое по у, а второе — по х, будем иметь , .

Но, так как для непрерывных функций результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования, то получаем (*) . С л е д с т в и е. Если условие (*) не выполнено, то выражение (14.4) не является полным дифференциалом. Стр 5 из 6 Соседние файлы в предмете

  1. 03.10.2013673.55 Кб
  2. 03.10.2013896 Кб
  3. 03.10.2013732.67 Кб
  4. 03.10.201322.36 КбГетман Рыклин лаб 3.xlsx
  5. 03.10.201327.36 Кбмножетсвенная регрессия Друж.xlsx
  6. 03.10.2013372.85 Кб
  7. 03.10.20132.89 Mб
  8. 03.10.201393.18 Кб
  9. 03.10.2013117.25 Кб
  10. 03.10.2013255.93 Кб
  11. 03.10.20131.19 Mб

Для продолжения скачивания необходимо пройти капчу:

7.4.

Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

Поэтому говорят, что z есть функция точки M(x, y) и пишут z = f(M).

Функция f(M) имеет предел A, , если разность f(M) — A есть бесконечно малая, когда r = MoM  0 при любом способе приближения M к Mo(например, по любой линии). Функция f(x, y) называется непрерывной в точке Mo, если .

В экономике рассматриваются функции не только от двух, но и большего числа независимых переменных. Например, уровень рентабельности R зависит от прибыли П на реализованную продукцию, величин основных (a) и оборотных (b) фондов, R = П/(a+b), т.е.

R является функцией трех независимых переменных R = f(П, a, b). Областью определения функции трех переменных является множество точек пространства R3, но непосредственной геометрической интерпретации для функций с числом аргументов больше двух не существует, однако для них вводятся по аналогии все определения (частные производные, предел, непрерывность и т.д.), сформулированнные для f(x,y).

Аналогично определяется функция n независимых переменных z = f(x1, x2,., xn).

Областью определения такой функции будет множество D  Rn. Примером функций многих переменных в экономике являются производственные функции.

При рассмотрении любого производственного комплекса как открытой системы (входами которой служат затраты ресурсов — людских и материальных, а выходами — продукция) производственная функция выражает устойчивое количественное соотношение между входами и выходами. Производственная функция обычно задается уравнением z = f(x1, x2,., xn), где все компоненты выпуска объединены (по стоимости или в натуре) в одну скалярную величину z, а разнородные производственные ресурсы обозначены как xi. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется производная, взятая по этой переменной при условии, что все остальные переменные остаются постоянными.

Для функции двух переменных z = f(x, y) частной производной по переменной x называется производная этой функции по x при постоянном y. Обозначается частная производная по x следующим образом: . Аналогично частной производной функции z = f(x, y) по аргументу y называется производная этой функции по y при постоянном x.

Обозначения: . Частными производными второго порядка функции z = f(x, y) называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Если первая производная была взята, например, по аргументу x, то вторые производные обозначаются символами .

Пусть функция z = f(x, y) определена в области D и точка Mo(xo, yo) будет внутренней точкой этой области. Говорят, что функция f(x, y) в точке Mo(xo, yo) имеет максимум (минимум), если ее можно окружить такой окрестностью (xo- , xo + ; yo — , yo+ ), чтобы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство f(x,y)  f(xo,yo) ( f(x,y)  f(xo,yo)). Такие точки называются

§13.

Функция многих переменных может иметь максимум или минимум (экстремум) только в точках, лежащих внутри области определения функции, в которой все ее частные производные первого порядка равны нулю или не существует хотя бы одна из них.

Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

о., функции F и G удовлетворяют условиям теоремы 1. Тогда

.

(5) С другой стороны,

. (6) Из (4)-(6) следует (3).

Из теорем 1 и 2 следует правило Лопиталя раскрытия неопределенностей

: предел отношения двух бесконечно малых функций при хх0

при выполнении условий 1)-4) теорем 1, 2 равен пределу прихх0 отношения производных этих функций.

Пример 1.  .  Замечание 1. Если условие 4) теорем 1, 2 не выполнено, правило Лопиталя может не действовать:

не существует, а

может существовать.

Пример 2. 

,х0=0.

Для этих функций в

выполнены условия 1)-3) теоремы 1.

Но

не существует, т.к. не существует

. Однако существует

. Замечание 2.

Если производные f и gв окрестности

удовлетворяют тем же условиям , что и сами функции (условия 1)-4)), то правило Лопиталя можно применять повторно.

Пример 3. 

.  Неопределенность

.

Теорема 3. Пусть f и g определены и дифференцируемы в

,

; g(x)0

;

; существует конечный или бесконечный

.

Тогда существует

, т. е.

. Из теоремы 3 следует правило Лопиталя раскрытия неопределенностей : предел отношения двух бесконечно больших

Теорема Лопиталя.

Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

Замечание 5.2 Это утверждение можно переформулировать так: между двумя корнями и дифференцируемой функции обязательно найдётся корень её производной

(то есть точка , такая что ). Условие означает, что касательная, проведённая к графику

при

, расположена горизонтально.

Так как при наших предположениях функция непрерывна на отрезке

, то она принимает своё максимальное значение

и минимальное значение

в некоторых точках

и

этого отрезка.

Заметим также, что теорема Ролля не утверждает, что корень — единственный корень производной на интервале ; на этом интервале может находиться несколько корней производной. Рис.5.4.Между двумя корнями дифференцируемой функции лежит хотя бы один корень её производной Доказательство теоремы Ролля.

Рассмотрим два случая. Если

, то наибольшее и наименьшее значения функции совпадают, и, следовательно, функция постоянна на отрезке :

. Значит,

при всех

, и в качестве в этом случае можно взять любую точку

интервала .

Если же

, то либо , либо отлично от 0 и, следовательно, либо точка , либо точка не совпадает с концами отрезка и , то есть лежит внутри интервала . Тогда, по теореме Ферма,

, поскольку по предположению доказываемой теоремы, имеет производную во всех точках интервала и, следовательно, в точке .

Пусть, для определённости, — внутренняя точка интервала.

Итак, в этом случае точку можно взять в качестве искомой точки : тогда . Теорема 5.3 (Лагранжа) Пусть функция дифференцируема на интервале и непрерывна в точках и .

Тогда найдётся такая точка , что (5.1) Замечание 5.3 Формулу (5.1) можно записать

Правило Лопиталя: теория и примеры решений

Решение.

Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0.

Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем: Пример 4. Вычислить

.

Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя: Замечание. Переходим к примерам, в которых правило Лопиталя приходится применять дважды, то есть приходить к пределу отношений вторых производных, так как предел отношения первых производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞.

Пример 5. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:

. Решение. Находим Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида ∞/∞. Пример 6. Вычислить

.

Решение. Находим Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида 0/0. Пример 7. Вычислить

.

Решение. Находим Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида — ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0. Пример 8. Вычислить

. Решение. Находим Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.

Пример 9. Вычислить

. Подсказка. Здесь придётся попыхтеть несколько больше обычного над преобразованием выражений под знаком предела.

. Пример 10. Вычислить

.

Подсказка. Здесь правило Лопиталя придётся применять трижды.

. Пример 11. Вычислить

. Решение. Получаем (здесь неопределённость вида 0∙∞ мы преобразовали к виду ∞/∞, так как а затем применили правила Лопиталя).

Пример 12. Вычислить

. Решение. Получаем В этом примере использовано тригонометрическое тождество

. Неопределённости вида

,

или

обычно приводятся к виду 0/0 или ∞/∞ с помощью логарифмирования функции вида

Чтобы вычислить предел выражения , следует использовать логарифмическое тождество

, частным случаем которого является

и свойство логарифма

.

Используя логарифмическое тождество и свойство непрерывности функции (для перехода за знак предела), предел следует вычислять

Раскрытие неопределённостей. Правило Лопиталя

Иногда удобно пользоваться и другими преобразованиями:

или

При вычислении пределов вида

можно столкнуться с неопределенностью

или

, или

. Раскрытие этих неопределенностей производят с помощью следующего преобразования: Тогда (в силу непрерывности показательной функции) получают:

, что сводит задачу к неопределенности или

.

Примеры с решениями Пример 1.Вычислить

Решение.

Подстановка предельного значения аргумента

приводит к неопределенности , т.е.

выполняется первое условие теоремы:

и

. Второе условие теоремы тоже выполняется, поскольку функции

и

дифференцируемы в некоторой окрестности точки , причем

для любого из этой окрестности (в качестве окрестности можно рассмотреть, например, интервал

). Выполняется и третье условие: существует предел отношения производных этих функций

.

Итак, решение этой задачи можно коротко записать следующим образом: Ответ:

Пример 2.

Вычислить

Решение. Ответ:

Пример 3. Вычислить

Решение.

Ответ: 0 Пример 4. Вычислить

Решение. Ответ:

Пример 5.

Вычислить

Решение.

Правило Лопиталя

Если g(x) и f(x) — дифференцируемы в проколотой окрестности a, тогда существует

. При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован Лопиталем в его сочинении «Анализбесконечно малых», изданном в 1696 году. В предисловии к этому сочинению Лопиталь указывает, что безвсякого стеснения пользовался открытиями Лейбница и братьев Бернулли и

«не имеет ничего против того,чтобы они предъявили свои авторские права на все, что им угодно»

. Иоганн Бернулли предъявил претензиина все сочинение Лопиталя целиком и в частности после смерти Лопиталя опубликовал работу подпримечательным названием

«Усовершенствование моего опубликованного в „Анализе бесконечно малых“метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают»

, 1704.

Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида

).

Поскольку мы рассматриваем функции f и g только в правой проколотой полуокрестности точки a, мы можемнепрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть f(a) = g(a) = 0. Возьмём некоторый x израссматриваемой полуокрестности и применим к отрезку

теорему Коши.

По этой теореме получим:

, но f(a) = g(a) = 0, поэтому

.

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через A, изполученного равенства выводим:

для конечного предела и

для бесконечного, что является определением предела отношения функций.

Докажем теорему для неопределённостей вида

. Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A.

Тогда, при стремлении x к a справа,это отношение можно записать как A + α, где α — O(1). Запишем это условие:

. Зафиксируем t из отрезка

и применим теорему Коши ко всем x из отрезка

:

, что можно привести к следующему виду:

.

Для x, достаточно близких к a, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равенединице (так как f(t) и g(t) — константы, а f(x) и g(x) стремятся к бесконечности). Значит, этот множительравен 1 + β, где β — бесконечно малая функция при стремлении x к a справа.

Выпишем определение этогофакта, используя то же значение

, что и в определении для α:

.

Получили, что отношение функций представимо в виде (1 + β)(A + α), и

.По любому данному

можно найти такое

, чтобы модуль разности отношения функций и A был меньше

,значит, предел отношения функций действительно равен A. Если же предел A бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

.

В определении β будем брать

; первый множитель правой части будет больше 1/2 при x,достаточно близких к a, а тогда

.

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

    • Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, а можно поступить иначе. Можно разделить и числитель,и знаменатель на x в наибольшей степени(в нашем случае x3). В этом примере получается:

      • ;

      • при a > 0. (Только если числитель и знаменатель ОБА стремятся или к 0; или к

        ; или к

        .) Соседние файлы в предмете

        • 12.04.20151.23 Mб
        • 12.04.2015537.09 Кб
        • 12.04.2015436.22 Кб
        • 12.04.2015286.72 Кб
        • 12.04.20153.96 Mб
        • 15.03.201662.2 Кб
        • 12.04.2015810.5 Кб
        • 12.04.2015320 Кб
        • 12.04.2015205.31 Кб
        • 12.04.201525.57 Кб
        • 12.04.20156.34 Mб

        Для продолжения скачивания необходимо пройти капчу:

Правило Лопиталя о раскрытии неоднозначностей

По определению (условие 4) для заданного числа

можно найти

такое, что для всех

выполняется неравенство:

Фиксируя

выберем, пользуясь условием 2 число

такое, чтобы при всех

выполнялись неравенства:

и

Для доказательства теоремы нужно доказать, что существует такое

, что при всех

выполняется неравенство:

Число будет выбрано ниже.

Комментарии 0